🦋 Introduction

La brève histoire des sciences

Nous allons voir ici l’évolution des sciences depuis Galilée jusqu’à nos jours. Pourquoi depuis Galilée et pas avant ? Premièrement car nous voulons ici poser un cadre pour nous représenter l’état d’esprit des scientifiques lors de la découverte de la théorie du Chaos. Et deuxièmement car Galilée a posé les bases des réflexions scientifiques modernes.

Nous connaissons tous Galilée pour son ouvrage “El Dialogo” présentant deux vues différentes sur l’organisation des astres. C’est également cet ouvrage qui lui ouvrit les portes de l’histoire ainsi que les portes de l’inquisition. Mais outre l’écriture de ce livre, Galilée est surtout reconnu pour les scientifiques comme le père de la science moderne. En effet, à cette époque, l’Eglise affirmait que tout était écrit dans la Bible et que par conséquent, ce qui ne s’y trouvait pas était donc une volonté divine. Cela a été très bien expliqué par Saint Thomas qui disait que si une pierre tombait, c’est tout simplement que sa place était par terre. Puis apparut Galilée. Il avait lu la Bible et était d’ailleurs un chrétien convaincu mais pour lui, il y avait mieux à faire pour comprendre le monde qui l’entoure que d’aller farfouiller dans ce livre. Pour lui, la nature est un livre écrit en langage mathématique. C’est donc tout naturellement que pour comprendre, prévoir et même reproduire ce phénomène, il suffit de développer les mathématiques propres aux observations que l’on en a fait.

La philosophie est écrite dans ce très grand livre qui est continuellement ouvert devant nos yeux, mais il ne peut être compris à moins que d’abord on en apprenne le langage, et que l’on connaisse les caractères qui sont des triangles, cercles et autres figures géométriques. Galilée Saggiatore 1623

Cette phrase est la base de la démarche scientifique de nos jours. Il est intéressant de voir que c’est également seulement à partir de cette démarche que nous validons ou invalidons les théories qui sont proposées. Certains philosophes trouvent que nous avons perdu notre rapport avec la nature depuis Galilée. Dans son livre “Galilée et les indiens. Allons-nous liquider la science ?”, Etienne Klein nous amène à une réflexion sur les tribus indiennes canadiennes qui ont un rapport plus proche à la nature ce qui ne les empêche pas de développer leurs conceptions de la nature. Et de grandes civilisations ont elles aussi réalisé différentes percées dans les domaines mathématiques ou scientifiques sans pour autant utiliser la méthode déductive de Galilée.

La science “Classique” fut développée par Newton qui, suivant les enseignements de Galilée, découvrit le calcul différentiel et put en déduire les lois de la gravitation. Dès lors, le mouvement des astres ne reposait plus sur la volonté divine mais sur des équations que l’on devait résoudre. Une seule théorie pouvait maintenant décrire une multitude de phénomènes différents. On pouvait en déduire les éclipses, les marées, la propagation des ondes… La méthode est toujours la même, on observe un phénomène puis on le met sous la forme d’une équation différentielle. Après résolution, il nous reste à changer la variable t pour déterminer les positions à tout moment de l’objet. Dès lors, la vision de la science était déterministe. Il ne restait plus d’espace dans cette science pour une quelconque volonté divine. Isaac Newton le dit lui-même : “God created everything by number, weight and measure”. (Dieu a créé toutes choses grâce aux nombres, aux poids et aux mesures) Nous le voyons, dieu est encore très présent dans les esprits à l’époque. Newton le reclasse comme un architecte ayant créé les règles que la nature doit suivre. Pour lui, les lois physiques ont été tellement bien écrites que l’univers pourrait même très bien se passer de son créateur mais il ouvre la porte à la possibilité d’une présence constante pour rajuster certains paramètres.

Après Newton commença le développement de la science. Les équations commençaient à expliquer la plupart des problèmes qui ont mis en échec les générations antérieures de physiciens et on ne voyait pas où celle-ci pourrait s’arrêter.

Au cours du XVIIIème siècle, l’évolution de la place des sciences en Europe put être résumée en une phrase de Galilée : Contentez - vous de nous dire comment on va au ciel, et laissez - nous le soin de dire comment va le ciel. C’est à cette époque que Laplace prit pour la première fois conscience des imprécisions que nous pourrions avoir lorsque nous voulons réaliser des observations. Ce mathématicien se fît remarquer par son essai sur les probabilités publiées en 1778 et qui ouvrit la voie aux calculs d’incertitudes appliqués à la mécanique. Pour lui, il était impossible de concevoir une entité capable, en un instant donné, d’embrasser tous les rapports des objets pour amener à une véritable prédiction. Déterministe convaincu, il pensait que les probabilités étaient un moyen de raisonner sur un problème où certains paramètres ne peuvent pas être connus. Pour Laplace : Les progrès de l’astronomie future dépendent de trois choses, la mesure du temps, celle des angles et la perfection des instruments d’optique. Les deux premières ne laissant malheureusement presque rien à désirer, la troisième représente toutes nos espérances. Il n’avait aucun doute sur la puissance de la science et évaluait même qu’il n’y avait plus grand chose à découvrir. Il fut cependant incapable de résoudre les équations de Newton lorsque le nombre d’objets célestes dépassait 2, mais comme il était persuadé que de petites approximations ne peuvent mener qu’à de petites erreurs, personne ne lui reprocha.

Cette mécanique tourna parfaitement jusqu’à ce qu’un premier grain de sable fut déposé dans ses rouages. En 1889, Oscar, roi de Suède, organisa un concours. Le thème était la remise en question de la stabilité du système solaire mais le véritable problème était la résolution des équations de Newton avec 3 planètes. Et ce fut Henri Poincaré qui conclut ce concours. La conclusion était que les trajectoires des trois planètes seraient de toute façon imprévisible car les trois planètes interagissent entre elles et la trajectoire résultante était imprévisible. Il faut noter que pour réfléchir à ce problème, Poincaré décida d’utiliser la géométrie et inventa au passage une nouvelle branche des mathématiques. C’est lors de cette recherche que la mécanique de Newton a démontré ses limites. Dès lors, les scientifiques ne voyaient plus le système solaire comme une horloge mais comme un système instable. D’ailleurs, dans son livre “Science et Méthode”, il expliqua se découverte en ces termes :

Si nous connaissions exactement les lois de la nature et la situation de l’univers à l’instant initial, nous pourrions prédire exactement la situation de ce même univers à un instant ultérieur. Mais, lors même que les lois naturelles n’auraient plus de secret pour nous, nous ne pourrions connaître la situation initiale qu’approximativement. Si cela nous permet de prévoir la situation ultérieure avec la même approximation, c’est tout ce qu’il nous faut, nous disons que le phénomène a été prévu, qu’il est régi par des lois ; mais il n’en est pas toujours ainsi, il peut arriver que de petites différences dans les conditions initiales en engendrent de très grandes dans les phénomènes finaux : une petite erreur sur les premières produirait une erreur énorme sur les derniers.

Poincaré n’avait pas les outils à l’époque pour développer ses idées, mais l’idée venait de faire son cocon et attendait tranquillement son heure. Mais l’idée de déterminisme en science, subsista jusqu’à l’arrivée d’Heisenberg. Ce fut ce scientifique allemand qui démontra l'impossibilité de connaître à la fois la position et la vitesse d’un électron. En effet, en mécanique quantique, les mesures faites sur les particules élémentaires vont obligatoirement modifier le comportement de ces particules.

Les découvertes de Poincaré furent passées inaperçues durant le début du XXème siècle. La majorité des scientifiques étaient trop occupés par le grand débat que la mécanique quantique avait lancé. La communauté scientifique était partagée entre les déterministes, qui étaient représentés par Einstein et qui soutenaient la mécanique classique et la relativité, et les probabilistes, menés par Heisenberg qui défendaient la mécanique quantique. La seule région où cette querelle ne s’est pas développée était le bloc de l'Est. Les scientifiques russes étaient encouragés par le gouvernement à travailler sur une vision réaliste de monde en science et de nombreux laboratoires de recherche se développèrent sur ce concept.

Pour le régime communiste, la guerre entre les scientifiques occidentaux n’était qu’une question d’idéologie et le phénomène de turbulence fut particulièrement étudié par les physiciens et mathématiciens russes. Il convient de citer Andreï Kolmogorov, un mathématicien soviétique ayant beaucoup travaillé sur les probabilités. Pour lui, certains phénomènes sont déterministes, certains sont probabilistes mais il n’existe aucune frontière naturelle entre ces différents phénomènes. En clair, Kolmogorov théorise qu’il y a toujours une partie probabiliste dans un phénomène déterminé. Dans les domaines de la dynamique non linéaire, les soviétiques avaient une avance considérable sur les scientifiques occidentaux mais dans un contexte de guerre froide, le partage des connaissances ne fut pas la priorité. Ces travaux se sont cependant très rapidement trouvés dans une impasse car n’ayant pas d’outils informatiques, les russes n’ont jamais pu développer leurs idées à la manière de Lorenz.

Le Chaos, une redéfinition des sciences

La théorie est née dans les années soixante. Si certains pensent que l’époque a contribué au succès de la théorie, sa naissance est due à une invention qui fit ses premiers pas dans les couloirs du M.I.T. : l’ordinateur. C’est d’ailleurs dans ce lieu que cette théorie fit ses premiers pas.

La personne qui donna naissance à la théorie du Chaos fut Edward Norton Lorenz. Ce fut un mathématicien professeur au M.I.T. ayant développé une passion pour les problèmes mathématiques qui n’avaient pas de solution. Durant la seconde guerre mondiale, il fut dépêché comme météorologiste pour l’armée de l’air américaine, il garda cette passion pour la météo ce qui fit de lui un marginal comparé à ses collègues qui étaient de purs mathématiciens. Ce fut donc la réunion de ce physicien un peu solitaire et de l’un des premiers ordinateurs (un McBee LGP-300) qui mena à la découverte de cette théorie.

Pour mieux comprendre la découverte de Lorenz, nous allons faire quelques rappels sur le sujet d’étude qui allait donner naissance au Chaos : “Les prévisions météorologiques”. L’objet de l’étude est la prévision du déplacement de masses d’air dans l’atmosphère. Dans la méthode classique, nous utilisons la mécanique de Newton pour déterminer la trajectoire d’un corps à partir de l’étude de son mouvement. Cela nous donnait des équations différentielles qui une fois résolues nous permettaient de faire des prévisions sur le comportement des corps étudiés. Bien que cette méthode fût très efficace pour prédire les phénomènes astronomiques, les marées ou les trajectoires des pommes qui tombent des pommiers, elle fut mise en échec lorsque l’on parlait de champs de particules. C’est au XVIIème siècle que des mathématiciens tel que Euler et Lagrange permirent l’élargissement de la mécanique Newtonienne aux champs et traduire ces équations différentielles pour englober le mouvement de plusieurs particules. Le monde était devenu prévisible. Le futur n’était que quelques équations différentielles à résoudre et l’horloge de l’univers pourrait commencer à nous raconter ses secrets.

La météorologie consiste à prévoir les déplacements de masses d’air dans l’atmosphère. Selon la logique Newtonienne, il suffisait donc de traduire en langage mathématique ces déplacements et de résoudre ces équations ! La prévision du temps pourrait donc être prévisible comme le mouvement des planètes. Or, même si les scientifiques ont pu traduire les mouvements observés dans l’atmosphère en équations, lorsque le temps est venu pour les résoudre, l’horloge de l’univers démontra qu’elle avait encore quelque secret et qu’elle n’était pas disposée à laisser filer ces derniers. Certaines des équations furent très difficilement résolvables et d’autres ne l’étaient tout simplement pas. La méthode utilisée alors fut de simplifier les équations. Cette méthode, très peu fiable mais permettant de sortir néanmoins des résultats exploitables fut la solution à ces problèmes complexes. La mécanique de Newton nous disant que “les effets sont proportionnels aux causes”, les termes mathématiques compliqués qui ne jouaient qu’un rôle mineur furent donc tout simplement supprimés des équations. Vous commencez à voir venir le papillon ? Et bien revenons à la météo. Le phénomène de déplacement des masses d’air repose sur le phénomène de convection : l’air chaud monte et l’air froid descend. Le soleil chauffe la terre qui à son tour chauffe l’air et le phénomène de refroidissement de l’atmosphère génère des cellules de convections à grande échelle. Lors de prévisions météo, il faut également tenir compte de la différence de température des pôles, de la différence de pression entre les différentes couches de l’atmosphère, de la rotation de la terre et d’une multitude d’autres facteurs qui peuvent intervenir (ex : une chaîne de montagne gênant la progression des masses d’air…) mais aussi des mouvements internes à cette masse d’air. Nous avons donc le dilemme suivant : Soit les expérimentateurs étaient amenés à établir des équations différentielles aussi précises que possible mais se retrouvaient avec des calculs très longs et un besoin énorme de données nécessaires, soit il fallait simplifier les équations le plus possible et les solutions seraient plus générales. C’est cette dernière qui mena Edward Lorenz sur l’expérience qui fut le départ d’une nouvelle science.

Tout cela nous ramène en 1961. A cette époque, les premiers ordinateurs n’étaient guère plus puissants que la calculette que vous utilisez pour faire vos comptes et ils étaient comparables en taille à un frigo couché sur le flanc. Leurs performances pouvaient faire perdre leur patience aux plus patients des informaticiens modernes. C’est avec ce genre d’appareil que Lorenz fit ses simulations. Il vit dans cet appareil, la possibilité d’effectuer de nombreux calculs répétitifs pour tester les modifications des paramètres dans ses équations et d’expérimenter ses idées en simulant ses hypothèses. Avec ses simulations, il pouvait déterminer si un modèle correspondait à la réalité observable ou s’il devait être abandonné. Cette méthodologie ne fit pas l’unanimité parmi ses collègues qui, en tant que mathématiciens, mettaient un point d’honneur à suivre les enseignements de Platon selon lesquels associer une image à un concept était le chemin pour introduire de fausses réalités dans le fruit du monde.

Lorenz fit donc ses simulations sur l’ordinateur du M.I.T. Les machines n’avaient pas d’écran à l’époque et les résultats sortaient sous forme de colonnes à six décimales. Lorenz a donc amélioré son modèle en testant plusieurs facteurs, en changeant les scénarios de météo tout en cherchant comment évoluaient les masses d’air. Lors d’une journée d’hiver, Lorenz fit une Nième simulation et, voulant probablement vérifier certains résultats, relança la simulation avec les mêmes données d’entrée. Il faut savoir que ces ordinateurs chauffaient autant qu’ils étaient lents et que la température dans la pièce contenant ce dernier après les expériences de Lorenz devait atteindre des sommets. Cela eut comme conséquence que notre cher physicien, au lieu de rentrer les mêmes données d’entrée à la décimale près, se contenta de facteurs légèrement arrondis de 3 décimales. Il est vrai qu’à cette époque, tout le monde était persuadé que l’incertitude arrondi au millième n’allait pas changer à ce point les résultats !

C’est ici que notre papillon entre en scène. Revenant dans la salle quelque temps plus tard, Lorenz examina ses résultats et là, un ouragan ! Même si les données de départ étaient très semblables, plus la variable temps progressait, plus les résultats s’écartaient des résultats de la série précédente. Au bout d’un moment, les prédictions n’avaient plus rien à voir avec les prévisions précédentes.

Ces résultats viennent perturber une des idées scientifiques les plus fondamentales. Newton disait que les effets sont proportionnels aux causes, seulement ces résultats nous montrent que même si certains effets sont considérés comme mineurs, il ne faut pas non plus les négliger. Un effet mineur peut être responsable d’un évènement majeur si celui-ci était amplifié par interaction de proche en proche. Et nous pouvons le voir dans notre vie de tous les jours ! N’avez-vous jamais vu des bouchons sur les routes où aucun évènement ne semble avoir causé cela ? Et bien ces problèmes de circulation sont parfois dus à un trafic dense et de petits ralentissements de certains automobilistes. Ces ralentissements font freiner les voitures suivantes puis cette onde va se propager de proche en proche jusqu’à créer un embouteillage.

Après cette découverte, Lorenz prit l’image du papillon pour illustrer ses propos. La modification des données d’entrée était si faible qu’il l’a comparé à l’effet pouvant être produit par une aile de papillon et les résultats étaient tellement différents qu’ils allaient changer à jamais le regard des scientifiques. Comme un ouragan déferlant sur une ville, le paysage scientifique allait être bouleversé par cette expérience.

La météo moderne tire les leçons du travail de Lorenz. Les prévisions météorologiques demandent la création de postes d’observations situés à moins de 100 km les uns des autres dont la fonction est de récolter des informations sur notre atmosphère comme la pression, la température… En tout, c’est près d’un million de données qui sont traitées par d’énormes ordinateurs pour afficher des prévisions qui généralement ne sont fiables que pour les deux à trois jours. En pratique, pour que les résultats concordent avec l’évolution de la météo, il faut tellement de données et ces dernières doivent être tellement précises que la météo à long terme est tout simplement incalculable. Les calculs du physicien David Ruelle prétendent même démontrer que pour prévoir le temps après quinze jours, il faudrait être capable de tenir compte de l’effet gravitationnel d’un électron situé à 10 années lumières de la Terre. Cette démonstration, même si elle ne doit pas prendre en compte les principes de la relativité générale, nous démontre la très grande complexité des prévisions météo.

La géométrie de la nature

Cependant, la théorie du Chaos n’avait pas cessé de nous surprendre et la révolution vint d’un problème mathématique proposé par Georg Cantor au XIXème siècle : La poussière de Cantor. Le problème est le suivant. Prenez un segment et enlevez le tiers central. Vous vous retrouvez avec deux segment. Répétez l’opération sur ces deux segments. Vous vous retrouvez avec quatre segments. Répétez l’opération à l’infini et le nuage de points résultant s’appelle le nuage de Cantor.

Mais le coup de génie vint d’un mathématicien français nommé Benoit Mandelbrot. Cet individu était un touche-à-tout des mathématiques. Ayant intégré l’école Normale puis Polytechnique, et quitta l’institution académique française pour aller travailler dans le centre de recherche d’IBM aux Etats Unis. Jamais il ne trouva de reconnaissance pour ses travaux car ceux-ci n’étaient pas considérés comme appartenant aux mathématiques.

Il tomba sur un problème qui intéressa son directeur : la présence de bruits sur les lignes téléphoniques transmettant l’information d’ordinateur à ordinateur. Il faut savoir que pour transmettre des données entre eux, les ordinateurs les envoient sous forme de paquets d’information et ces bruits pouvaient corrompre l’information contenue dans ces paquets. Les ingénieurs avaient remarqué que s’ils augmentaient l’intensité, ces bruits pouvaient être étouffés mais qu’ils ne pouvaient jamais disparaitre complètement. Et plus on observait ces bruits avec précision, plus la complexité de ces derniers augmentait. Cependant, Mandelbrot finit par percevoir une certaine régularité sur l’apparition des bruits. Lorsqu’il décomposa sa journée en heures, il pouvait y avoir certaines heures sans erreur puis plusieurs erreurs dans la même heure. Puis en décomposant ces heures en minutes, nous avions un schéma semblable. Plusieurs minutes pouvaient se passer sans erreurs et une minute pouvait contenir plusieurs erreurs. Mandelbrot découvrit que le rapport des périodes dépourvu d’erreurs aux périodes avec erreurs restait constant quelle que soit l’échelle d’observation utilisée (heures, minutes, secondes). Avec toutes ces données, Mandelbrot retrouva les schémas caractéristiques du nuage de Cantor.

Ce qui fût un problème abstrait devint d’une importance pratique colossale pour les scientifiques qui durent mettre en place des mesures pour contrer ce problème. La nature même de ce problème de bruit démontra qu’il n’y avait aucune cause à cela. Certains ingénieurs avaient pour un temps cherché un technicien jouant avec son tournevis dans les labos mais l’effet était de nature chaotique.

Suite à cela, Mandelbrot étudia de nombreux phénomènes différents allant des crues du Nil à l’évolution des prix des produits dans l’économie. Il réussit à créer une nouvelle forme d’étude de l’espace où il redéfinit les dimensions mathématiques. Pour se représenter cela, nous allons partir des mathématiques dans un repère Euclidien, nous pouvons avoir un nombre entier de dimensions (par exemple, nous avons 2 dimensions pour un plan, 3 dimensions pour un volume…). Mandelbrot émit l’idée qu’un objet peut avoir un nombre fractionnaire de dimensions. Cette modification permit de mesurer les caractéristiques d’un objet qui ne pouvait être décrit clairement par les études classiques comme la rugosité, l’irrégularité ou le degré de fragmentation. Cette explication peut sembler floue, nous allons donc se poser la même question que Mandelbrot dans un de ses articles : « Combien mesure la côte de la Bretagne ? »

Si vous observez une carte de la Bretagne, vous vous rendez vite compte que la mesure peut s’avérer difficile. La côte contient de nombreux accidents et la possibilité de calculer la longueur de la côte va dépendre de la technique utilisée. Par exemple, si nous prenons notre règle et que nous avons une carte au 1/100 000ème, nous allons avoir une assez grosse incertitude sur les accidents le long de la côte. Si nous prenons maintenant une carte au 1/1 000ème, les imprécisions sur la mesures seront moindre. Et si nous allons nous promener le long de la côte en comptant nos pas, nous réduirons encore cette incertitude. Dans la méthode de Mandelbrot, nous allons appeler les accidents de la côte « rugosité » et nous allons donner une valeur dimensionnelle à cette rugosité.

Lors de la rédaction de son premier grand livre, il fallut qu’il donne un nom à ces figures venant tout droit de sa géométrie. Il donna donc le nom de « fractal » (du latin fractus : briser). D’une manière, une fractale est une manière de voir l’infini.

Imaginez ici un triangle de 3cm de côté. Divisez ces côtés en trois, enlevez le segment du milieu et ajouter deux segments de 1cm chacun formant un triangle équilatéral dirigé vers l’extérieur du triangle (Vous avez ici une étoile). Répétez cette opération à l’infini, le résultat final vous donne ce que l’on appelle un flocon de neige de Koch. La particularité de cette figure est que sa circonférence est infinie (en effet, nous multiplions la longueur du périmètre par 4/3 à chaque manipulation) et d’une surface finie (l’objet peut toujours être contenu dans le cercle circonscrit du triangle initial. D’ailleurs, si vous observez l’une des branches de cette figure, vous pouvez observer une grande similitude avec les côtes de la Bretagne.

Mandelbrot avait commencé à définir l’image d’une réalité différente de celle que nous avons l’habitude d’utiliser : l’invariance d’échelle. Pour se représenter cela, nous pouvons imaginer une personne se trouvant dans une pièce dont les murs sont des miroirs. La même image peut être retrouvée théoriquement indéfiniment selon le grossissement de l’image initiale. Nous retrouvons cette récurrence dans les graphiques que Mandelbrot avait créés lors de ses études des cours boursiers ou des débits fluviaux. Nous retrouvons également ces motifs dans certaines fractales comme dans le flocon de neige de Koch.

Poème par Jonathan Swift

So, naturalists observe, a flea Has smaller fleas that him on prey ; And these have smaller still to bite ‘em ; And so proceed ad infinitum.	Ainsi, observe les naturalistes, une puce ; A de plus petites puces qui l’ont comme proie ; Et celles-ci en ont des plus petites les mordant ; Et ainsi de suite jusqu’à l’infini.

Ce genre de géométrie peut se retrouver dans la nature. Prenez par exemple les vaisseaux sanguins. Dans notre corps, ces conduits se divisent en conduits plus petits qui se divisent à leurs tours. Le volume de ces vaisseaux ne représente que 5\% du volume total du corps humain. Pourtant la longueur totale du réseau est équivalente à 2 fois la circonférence de la Terre et sa surface est supérieur à 3 terrains de basket. Ce type de complexité n’est pas unique dans le corps humain. Nous pouvons citer également les poumons ou la problématique évolutive fut de renfermer une surface très importante dans un espace le plus faible possible. Il fallut plusieurs années pour que certains biologistes théoriciens ne s’intéressent aux travaux de Mandelbrot et découvrent que les organisations fractales étaient en accord avec les données.

Cette organisation a de fait considérablement simplifié les organisations de la nature. Dans la géométrie euclidienne, l’organisation de la nature est très complexe et demande beaucoup d’informations. Par contre, si nous représentons des objets fractals, ces organisations admettent une solution beaucoup plus simple et donc une quantité d’information beaucoup plus faible.

Contrairement aux fractales, les recherches sur l’invariance d’échelle ont eu un plus grand succès dans l’imagination populaire que dans la recherche scientifique. En effet, contrairement au dessin animé « La Vie », le corps humain n’est pas peuplé de petites répliques de lui-même se promenant dans ses vaisseaux. Nous pouvons ici nous servir de la logique des Shadoks pour mieux comprendre la notion d’échelle. Prenons un fil. Si nous le regardons de face, le diamètre est tellement petit que nous pouvons le représenter comme un point. Nous avons donc un objet de dimension 0. Si nous regardons ce fil de côté, nous avons alors un objet d’épaisseur très faible et d’une longueur calculable. Nous sommes donc passé à un objet de dimension 1. Maintenant, imaginez une pelote faite avec ce fil. Nous sommes alors avec un objet de dimension 3. Enfin, imaginons que cette pelote est posée sur un mur à grande distance. Cet objet est à nouveau un objet de dimension 0. Maintenant, si nous regardons cet objet de côté, avons-nous un fil ? Ce jeu de logique est parfait pour vous représenter l’impossibilité de l’invariance d’échelle dans un monde tel que le nôtre tout en démontrant la variation de perspective suivant l’échelle utilisée.