💠 Fractales

Une organisation chaotique

Comme nous l'avions déjà expliqué, les fractales ont été découvertes par Benoît Mandelbrot lorsqu'il étudiait les perturbations dans les lignes téléphoniques reliant les ordinateurs de la société IBM. Ces objets mathématiques ont permis de visualiser des phénomènes naturels ou parfois artificiels. Il faut savoir que Mandelbrot était réputé capable se représenter tout problème mathématique comme structure géométrique. Son œuvre peut donc être vue comme le moyen qu'il a trouvé pour nous montrer comment il voyait le monde des mathématiques.

Les fractales sont des objets dont la structure a une invariance lorsque nous changeons d'échelle, c'est à dire que si nous faisons un zoom sur un coté de notre figure, nous devrions arriver à un point où allons retrouver une image semblable à notre figure de départ. Pour une meilleur représentation, vous pouvez penser à la célèbre série de dessin animé "La Vie" où notre corps est peuplé de répliques de ce dernier! Dans ce dessin animé, nous suivons souvent les globules rouges qui sont représentés comme de minuscules humains circulant dans nos artères. Mais à quoi ces objets nous servent-ils? Il est bien connu que nous ne sommes pas constitués de microscopiques répliques de nous-même circulant dans notre corps pour en assurer le fonctionnement, alors quel est le rapport entre ces étranges figures et la nature?

Et bien ce problème se retrouve à tous les niveaux de la nature! Nous allons pour suivre prendre l'exemple de la biologie qui est l'une des formes d'organisation de la matière la plus complexe sur Terre et dans laquelle nous pouvons retrouver des exemples de fractales à tous les niveaux.

Nous allons commencer notre périple par l'ADN, élément de base de toute cellule et véritable plan des organismes. Cette molécule est considérée comme la plus longue molécule existant sur Terre. Imaginez que pour chacune de vos cellules (qui ont une taille d'environ 1/100 de mm, nous avons près de 2m d'ADN si nous mettons tout les brins bout à bout. Il y a ici une question qui mérite d'être posée, comment faire tenir une telle longueur dans une cellule aussi petite? Et bien, tournons ici vers l'une des caractéristiques des fractales. Si nous les observons de près, nous pouvons nous rendre compte que ce sont des objets qui, bien qu'ayant une surface pouvant être calculée (prenons l'exemple du flocon de Kock, sa surface reste inférieure à celle du cercle circonscrit), ont un périmètre qui est infini! Nous avons ici une réponse apportée par cette étrange géométrie à un problème bien concret. Mais allons un peu plus loin... Regardons comment est "plié" notre ADN, nous pouvons alors remarquer que ce dernier va former une spirale. Une partie de cette spirale va alors s'enrouler autour d'autres molécules formant une sorte de "boule", puis cette "boule" va être liée à d'autres "boules" correspondant à l'enroulement de l'ADN voisine. Nous avons ici une formation comparable à une décoration de Noël! Mais nous devons ici ranger cette décoration dans nos chromosomes! Cette décoration, appelée ici "nucléofilament" va alors former une spirale qui va se replier sur elle-même... pour finalement créer nos chromosomes. Maintenant, que pensez vous de ce genre de répétition?

• Assemblage d'atome (assimilable à des boules) en molécule linéaire.
• Arrangement de cette molécule en forme de spirale.
• Formation de "boules" suite à l'interaction entre l'ADN et d'autres molécules.
• Arrangement de cet ensemble sous forme de spirale.

Et oui, nous avons ici un remarquable exemple d'invariance d'échelle! Du moins pendant un nombre limité de cycle... Mais l'étude des fractales a été déterminante dans l'étude ce ce phénomène.

Maintenant, changeons d'échelle et regardons nos organes. Chaque cellule de notre corps a besoin de "carburant" pour fonctionner et rejette des "déchets". Le rôle d'apport et d'énergie et d'évacuation des déchets est assuré par le sang qui se doit donc de parcourir tout notre corps. Mais comment est organisé ce transport? Nous pouvons le représenter simplement comme un réseau routier! Nous avons des artères/veines (autoroute/routes nationales) ou le débit est important et qui conduit notre sang dans tout notre corps. Puis nous avons les artérioles/veinules (routes départementales), plus étroites et ayant un débit plus faible, celles-ci vont nous conduire vers les formations suivantes. Enfin, nous avons les capillaires, beaucoup plus étroits(rues, avenues...) et ayant un débit plus faible et permettant des échanges avec les cellules de notre organisme, celles-ci sont encore plus étroites. Dans ce schéma, nous retrouvons bien notre concept d'invariance d'échelle car bien que de plus en plus petite, cette structure garde une forme identique selon les différentes échelles. L'organisation de ce réseau est également fractal car nous avons ici une longueur de réseau équivalent au double de la circonférence de la Terre contenue dans un volume ne dépassant pas les 5% du volume de notre corps.

Mais cette disposition ne se retrouve pas uniquement chez l'homme! Prenons l'exemple de la fougère. Il est intéressant de savoir que la fougère est une plante ayant gardé certaines spécificités appartenant à ces ancêtres préhistorique dont la disposition de ses feuilles. C'est à dire cette disposition est l'une des premières dispositions qui ait été viable dans le monde du vivant! Il est étrange alors de remarquer le caractère fractale de ses feuilles! En effet, si nous regardons bien la disposition des pennes ressemble à la disposition des feuilles qui ressemble à la disposition de la plante. Nous retrouvons bien ici notre invariance d'échelle.

Mais alors pourquoi cette disposition est autant utilisée dans la nature? Comment se fait-il que nous la retrouvions à tous les niveaux de celle-ci? Et bien la réponse à cela est la simplicité d'organisation. Et cette facilité est très bien expliquée par le "jeu du chaos" mis au point par Michael Barnsley. Au début, celui-ci voulait créer une méthode simple et rapide de création de fractales en utilisant un polygone et un point initial choisi au hasard. Puis, avec un ordinateur, vous itérez ce problème un grand nombre de fois et une figure va commencer à émerger de cela. Reprenons ici notre fougère, nous savons que pour créer la forme de notre fougère, nous devons suivre le système suivant:

Pour commencer, demandons un nombre aléatoire compris entre 0.00 et 1.00 que nous allons appeler Rand.

$$ \left\lbrace \begin{array}{l l c c c} Si & Rand<0.02 & \Rightarrow & x_i=50.0 & y_i=0.27*y_{i-1}\\ Si & Rand<0.17 & \Rightarrow & x_i=-0.139x_{i-1} + 0.263y_{i-1}+57.0 & y_i=0.246x_{i-1}+0.244y_{i-1}-8.28\\ Si & Rand<0.3 & \Rightarrow & x_i=0.17x_{i-1}-0.215y_{i-1}+40.8 & y_i=0.222x_{i-1}+0.176y_{i-1}+20.539\\ Si & Rand \ge 0.3 & \Rightarrow & x_i=0.781x_{i-1}+0.034y_{i-1}+10.75 & y_i=-0.032x_{i-1}+0.739y_{i-1}+62.1 \end{array} \right. $$

Au fur et à mesure des itérations, nous pouvons voir apparaître ce que l'on appelle "La fougère de Barnsley"(voir ci-dessous). Le dessin final fera d'ailleurs pleurer de jalousie les étudiants de biologie qui lors des travaux pratiques doivent patiemment dessiner les fougères qu'ils ont devant les yeux. Cela nous montre que l'information nécessaire pour "construire" ce modèle n'est pas énorme! Il tient en fait sur 4 lignes! Il n'en faut pas plus pour représenter la complexité apparente d'un être vivant!

Qu'est-ce que cela nous apprend? Que la nature n'a pas besoin d'avoir un plan détaillé de l'organisation des êtres vivants, les mathématiques fractales montrent que pour développer les choses les plus complexes, nous n'avons seulement besoin que d'avancer d'un pas selon une règle. D'ailleurs, n'est-ce pas ce que chaque être vivant fait? Il passe d'un organisme à N cellules à un organisme à N+1 cellules à chaque instant!

La figure de la résolution polynomiale

Les ensembles de Julia et Fatou

Au début du XX^ème, nous allons suivre deux mathématiciens qui ont fait la même découverte malgré le fait qu'ils aient conduit leurs travaux de façon totalement indépendante. Le but qu'ils recherchaient était la résolution des polynômes complexes. Leurs travaux se tournent sur l'itération successive ce ces polynômes. Par exemple, pour étudier le polynôme $P(z)=z^{2} + c$ avec $z$ un nombre complexe de la forme $z=a+ib$, ils utilisaient la formule $z_{n+1} = z_{n}^{2} + c$. Ici, nous prenons $c$, une valeur complexe quelconque fixe et $z$ une valeur complexe arbitraire variable.

Nos mathématiciens remarquent alors que pour certaines valeurs de $z$, le résultat se maintient au fil des itérations alors que pour d'autres valeurs de $z$, les résultats tendent vers l'infini. En fait, si la valeur de $\left| z \right|$ dépasse la valeur de 2, alors le système tendra vers l'infini. Ce type de calcul est relativement simple bien que très long ce qui explique que nos mathématiciens s'arrêtaient au bout d'un nombre restreint d'itération. A l'époque, les ordinateurs n'existaient pas et la modélisation des résultats ne pouvait tout simplement pas se faire.

L'ensemble de Mandelbrot

Mandelbrot prit le relai dans cette discipline et prit le problème différemment. Pour la même formule $z_{n+1} = z_{n}^{2} + c$, il prit un $c$ variable et un $z$ partant de la valeur $z = 0$. Alors qu'il y a plusieurs d'ensembles de Julia, il y a un seul ensemble de Mandelbrot correspondant à chaque formule. Le but de cette recherche est de déterminer les points pour lesquels le polynôme de diverge pas.

Quel est l'intérêt de ces recherche?

Comment imager notre problème

Que ce soit l'ensemble de Mandelbrot ou l'ensemble de Julia, nous allons utiliser la même méthode de résolution informatique. Pour créer l'image de notre problème, nous allons dans un premier temps délimiter notre espace. Imaginons une image avec une résolution de 5x5 pixels. Nous allons assigner la coordonnée complexe du pixel à notre variable complexe.

Coordonnées (-2, 2) $z = -2 + 2i$	Coordonnées (-1, 2) $z = -1 + 2i$	Coordonnées (0, 2) $z = 0 + 2i$	Coordonnées (1, 2) $z = 1 + 2i$	Coordonnées (2, 2) $z = 2 + 2i$
Coordonnées (-2, 1) $z = -2 + i$	Coordonnées (-1, 1) $z = -1 + i$	Coordonnées (0, 1) $z = 0 + i$	Coordonnées (1, 1) $z = 1 + i$	Coordonnées (2, 1) $z = 2 + i$
Coordonnées (-2, 0) $z = -2$	Coordonnées (-1, 0) $z = -1$	Coordonnées (0, 0) $z = 0$	Coordonnées (1, 0) $z = 1$	Coordonnées (2, 0) $z = 2$
Coordonnées (-2, -1) $z = -2 - i$	Coordonnées (-1, -1) $z = -1 - i$	Coordonnées (0, -1) $z = 0 - i$	Coordonnées (1, -1) $z = 1 - i$	Coordonnées (2, -1) $z = 2 - i$
Coordonnées (-2, -2) $z = -2 - 2i$	Coordonnées (-1, -2) $z = -1 - 2i$	Coordonnées (0, -2) $z = 0 - 2i$	Coordonnées (1, -2) $z = 1 - 2i$	Coordonnées (2, -2) $z = 2 - 2i$

Ensuite, nous allons définir quel polynôme nous voulons étudier. Ici, nous allons prendre comme exemple le polynôme $P(z)=z^{2} - c$ et nous allons prendre 2 exemples.

Dans un premier exemple, nous allons prendre comme coordonnée de départ (1, 1) qui nous donne le point $p_{i} = 1 + i$. Ensuite, nous itérons notre problème et observons l'évolution de $\left| z \right|$.

Polynôme	Julia - Fatou		Mandelbrot
On fixe:	$c = 0.05 + 0.6i$, $\left| z \right| = p_{i} = 1 + i$		$z_{0} = 0$, $c = p_{i} = 1 + i$
Itération n°1 Itération n°2 Itération n°3 Itération n°4	$z_{1} = \left(z_{0}\right)^{2} + c = 0.05+2.6i$ $z_{2} = \left(z_{1}\right)^{2} + c = -6.70+0.86i$ $z_{3} = \left(z_{2}\right)^{2} + c = 44.30-10.94i$ $z_{4} = \left(z_{3}\right)^{2} + c = 1843.01-968.43i$	$\left| z_{1} \right| = 2.6$ $\left| z_{2} \right| = 6.76$ $\left| z_{3} \right| = 45.63$ $\left| z_{4} \right| = 2081.95$	$z_{1} = \left(z_{0}\right)^{2} + c = 1+i$ $z_{2} = \left(z_{1}\right)^{2} + c = 1+3i$ $z_{3} = \left(z_{2}\right)^{2} + c = -7+7i$ $z_{4} = \left(z_{3}\right)^{2} + c = 1-97i$	$\left| z_{1} \right| = 1.41$ $\left| z_{2} \right| = 3.16$ $\left| z_{3} \right| = 9.9$ $\left| z_{4} \right| = 97$

Dans ce premier développement, nous pouvons observer que la valeur de $\left| z \right|$ tend très rapidement vers l'infini. Cependant, si nous prenions comme coordonnées de départ (-0.2, 0.2), les suites se stabilisent. Le nombre $z = -0.2+0.2i$ appartient donc à l'ensemble de Julia-Fatou et à l'ensemble de Mandelbrot du polynôme étudié.

Grâce à cette méthode, nous allons pouvoir créer nos fractales. Nous allons ici colorier les points dont le résultat ne tend pas vers l'infini en noir pour les démarquer comme appartenant à nos espaces et nous allons utiliser un dégradé du bleu vers le rouge pour différentier le nombre d'itérations nécessaires pour que notre résultat tende vers l'infini.

Les images suivantes représentent les simulations de plusieurs ensembles de Julia-Fatou pour des points que nous avons pris au hasard. Ces images vous démontrent la multiplicité des ensembles de Julia-Fatou que nous pouvons générer pour un même polynôme.

Ensembles de Julia-Fatou du pôlynôme $P(z) = z^{2} + c$ (gauche à droite, haut en bas): $c=-0.0952+0.735i$, $c=-0.414-0.612i$, $c=0.382+0.147i$, $c=0.284-0.0122i$, $c=i$, $c=-0.11+0.6557i$, $c=-0.194+0.6557i$, $c=-0.74543+0.11301i$, $c=-1.25$, $c=-0.39054-0.58679i$, $c=0.11031-0.67037i$

Les images suivantes représentent différents ensembles de Mandelbrot. Étant donné que nous ne pouvons simuler qu'un seul ensemble par polynôme, nous avons sélectionné 3 polynômes différents pour vous montrer les évolutions des ensembles en fonction du degré du polynôme.

Ensembles de Mandelbrot des pôlynômes (gauche à droite): $P(z) = z^{2} + c$, $P(z) = z^{3} + c$, $P(z) = z^{4} + c$

Lorsque nous voulons agrandir notre fractale, nous nous rendons compte des particularités spectaculaires de ces dernières. A chaque agrandissement, nous redécouvrons des motifs plus extraordinaires les uns que les autres et vous pouvez vous rendre compte de l'auto-similarité. Ci-dessous, nous avons fait des agrandissements successifs de notre ensemble de Mandelbrot et nous pouvons ainsi nous rendre compte de l'impossibilité de déterminer le périmètre de notre figure.

Dimension fractale et jeux du Chaos

Le développement des fractales a été accompagné d'une véritable révolution dans la manière de penser notre espace. Le nombre de dimensions de nos objets a complètement changé! Dans son livre "Les objets Fractals", Mandelbrot prend comme exemple la côte de la Grande Bretagne. Cette côte a forcément une dimension D qui se trouve entre D=1, qui se trouve être la dimension de la droite, et D=2, qui se trouve être la dimension d'une surface. Cependant, si on admet que les côtes naturelles ont un aspect chaotique, nous pouvons déterminer un ordre qui leurs est sous-jacent. Lorsque l'on regarde une carte au 1/100000, nous pouvons observer plusieurs baies et lorsque nous les comparons à une carte au 1/10000, on se rend compte que ces baies sont elles-même constituées de baies plus petites. C'est exactement comme les images que nous avons créées au point précédent. Cela a donné à Mandelbrot l'idée de créer une nouvelle dimension: la dimension fractale.

Pour étudier la dimension fractale, nous allons ici utiliser les fractales créées lors du jeu du Chaos développé par Michael Barnsley. Ces figures ont comme intérêt d'être très simples ce qui simplifiera notre compréhension de cette étrange dimension.

Commençons par une des fractales les plus simples, le triangle de Serpinski! Pour construire ce triangle à l'aide du jeu du Chaos, rien de plus simple. Nous commençons par créer un triangle standard ABC (pour notre exemple, nous allons prendre un triangle équilatéral mais cette construction se vérifie pour tout triangle). Puis nous allons prendre un point de départ également au hasard que nous allons appeler p₀. Nous allons alors prendre un nombre au hasard entre 0 et 1 que nous allons nommer Rand. Nous allons alors procéder comme suivant:

• Si $Rand < 0.33$, alors le point suivant $(p_{1})$ se trouvera au centre du segment $[p_{0}, A]$.
• Si $Rand < 0.66$, alors le point suivant $(p_{1})$ se trouvera au centre du segment $[p_{0}, B]$.
• Si $Rand >= 0.66$, alors le point suivant $(p_{1})$ se trouvera au centre du segment $[p_{0}, C]$.

Puis nous tirons un autre point au hasard et nous recommençons cette étape avec notre point p₁, et ainsi de suite suivant le nombre de points choisis. Cette construction se retrouve bien sur la figure suivante.

Au fur et a mesure des itérations, nous pouvons voir notre triangle apparaître et nous pouvons bien observer la nature fractale de ce dernier. En effet, pour créer un triangle de Serpinski, nous divisons notre triangle en 4 puis nous enlevons le triangle central. Puis nous répétons cette opération à l'infini sur les triangles restants. Nous avons ici le même problème que notre côte de grande Bretagne, vu que ce triangle est apparemment plane, nous serions tentés de dire qu'il a 2 dimensions mais dans ce cas, pouvons-nous calculer son aire? Car même si son aire est celle d'un triangle, celle-ci est multipliée par 0.75 à chaque itération...

Commençons par les bases, pour calculer la dimension fractale d'une figure, nous devons connaître combien de répliques de lui même apparaissent à la génération suivante. Nous pouvons voir que 1 triangle nous donne 3 triangles similaires à la génération suivante. Nous avons donc N=3. Puis nous allons rechercher le facteur de rétrécissement que nous avons sur nos figures. Nous pouvons voir que la base d'un triangle de la génération suivante est 2 fois plus petite que celle de la génération d'avant. Nous allons donc poser r = 2. Pour calculer notre dimension fractale, nous allons utiliser l'équation suivante:

$$ D = \frac{ln(N)}{ln(r)} = \frac{ln(3)}{ln(2)} = 1.5849 $$

Nous pouvons voir que nous avons ici une dimension égale à 1.6 ce qui est plutôt étrange pour nous, cette dimension particulière est aussi connue sous le nom de granularité de notre fractale.

Si nous voulons déterminer la dimension fractale de la fougère de Barnsley, nous sommes confrontés à une difficulté supplémentaire. En effet, contrairement au triangle de Serpinski, le facteur de rétrécissement n'est pas constant. Nous allons alors utiliser une approximation. Nous allons prendre une feuille de dimension moyenne (vers le centre de notre fougère) et nous allons postuler que nous pouvons en mettre 16 le long de notre feuille. Cette feuille de dimension moyenne est d'environ 40mm et nous pouvons voir que la longueur totale de notre fougère est d'environ 230mm. Nous pouvons alors déterminer un coefficient de réduction égal à 230/40 = 5. Nous pouvons alors calculer notre dimension fractale:

$$ D = \frac{ln(16)}{ln(5)} = 1.7227 $$

Ce calcul est très approximatif mais nous donne des résultats assez proches de la réalité car la valeur calculée par les scientifiques est d'environ 1.7.