♨️ Conduction Thermique Chaotique

La théorie du Chaos utilise les suites mathématiques. Dans cette logique, il n'est plus question de résoudre les équations physique mais de les discrétiser comme nous pouvons le voir la démonstration mathématique de l'équation de la chaleur ici.

Lorsque nous utilisons cette théorie avec la conduction thermique dans une plaque, la configuration des températures dans la plaque au temps t+1 dépend de la configuration des températures au temps t. Dans notre exemple, nous pouvons voir que si nous voulons prendre une grande résolution, nous devons prendre un pas temporel faible pour compenser la vitesse de propagation de la chaleur.

Or, lorsque nous voulons modéliser le problème, lorsque nous voulons augmenter la résolution de notre échantillon, notre matrice et nos vecteurs de températures augmentent en taille et donc le nombre d'opérations augmente. De même, si nous voulons diminuer le pas de temps, le nombre d'opération va augmenter. Pour un ordinateur, chaque opération demande un certain temps (aussi court soit-il) et plus le nombre d'opérations augmente, plus la modélisation sera longue.

Un autre exemple : l'évolution de populations

Ce type de modélisation a inspiré John Horton Conway pour modéliser le comportement cellulaire. Il est d'ailleur très connu pour son jeu de la vie qui simule le comportement cellulaire selon 3 lois. Vous vous retrouvez alors avec des animations comme celle ci-dessous. Ce "jeu de la vie" est souvent utilisé comme exercices de programmation pour des débutants.

Nous avons vu ici la sensibilité aux conditions initiales. Pour modéliser l'évolution d'une population dans le temps, nous partons de données actuelles pour prédire les évolutions futures. Mais nous ne pouvons pas modéliser cette évolution sans avoir de conditions initiales. Cependant, une faible modification de ces conditions initiales peut avoir des conséquences énorme sur les résultats.