♨️ Conduction thermique

Discrétisation de la conduction thermique

Nous partons de l'équation de la chaleur:

$$ \frac{\partial T}{\partial t} = \gamma.\Delta T $$

Pour discrétiser, nous allons donc transformer les dérivées partielles grâce à la méthode des différences finies. Nous allons donc poser "i": l'itération selon "x", "j": l'itération selon "y" et "k": l'itération selon "t".

$$ \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{T^{k+1}_{i, j}-T^{i}_{i, j}}{\Delta T} \qquad \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = \frac{T^{k}_{i+1, j}-2.T^{k}_{i, j}+T^{k}_{i-1, j}}{\Delta x^2} \qquad \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} = \frac{T^{k}_{i, j+1}-2.T^{k}_{i, j}+T^{k}_{i, j-1}}{\Delta y^2} $$

Nous avons alors, après simplification, l'équation suivante:

$$ T^{k+1}_{i, j} = T^{k}_{i, j}.\left( 1-2\mu \left( \Delta x^2 + \Delta y^2 \right) \right) + \mu\Delta x^2\left( T^{k}_{i, j+1} + T^{k}_{i, j-1} \right) + \mu\Delta y^2\left( T^{k}_{i+1, j} + T^{k}_{i-1, j} \right) $$

Nous posons alors : $\mu = \frac{\gamma\Delta t}{\Delta x^2.\Delta y^2}$

Ce qui nous donne la formule suivante:

$$ \left\lbrace T^{k+1} \right\rbrace = \left[ M \right].\left\lbrace T^{k} \right\rbrace + \left\lbrace T^{k}_{ext}\right\rbrace $$

Avec:

$ \left\lbrace T^{k+1} \right\rbrace $ est le vecteur des températures final (au temps t+1)

$ \left[ M \right] $ est la matrice de passage

$ \left\lbrace T^{k} \right\rbrace $ est le vecteur des températures initiales (au temps t)

$ \left\lbrace T^{k}_{ext} \right\rbrace $ est le vecteur des températures extérieures (au temps t)

Pour une résolution 3x3, nous avons les informations sous la forme suivante:

$$ \begin{array}{c c c} \left\lbrace T^{k+1} \right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} T_{1, 1}\\T_{1, 2}\\T_{1, 3}\\T_{2, 1}\\T_{2, 2}\\T_{2, 3}\\T_{3, 1}\\T_{3, 2}\\T_{3, 3} \end{array} \right\rbrace^{k+1} & \left\lbrace T^{k} \right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} T_{1, 1}\\T_{1, 2}\\T_{1, 3}\\T_{2, 1}\\T_{2, 2}\\T_{2, 3}\\T_{3, 1}\\T_{3, 2}\\T_{3, 3} \end{array} \right\rbrace^{k} & \left\lbrace T^{k}_{ext} \right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \mu\Delta x^2 T_0 + \mu\Delta y^2 T_1\\ \mu\Delta y^2 T_1\\ \mu\Delta x^2 T_0 + \mu\Delta y^2 T_1\\ \mu\Delta x^2 T_0\\ 0\\ \mu\Delta x^2 T_0\\ \mu\Delta x^2 T_0 + \mu\Delta y^2 T_0\\ \mu\Delta y^2 T_0\\ \mu\Delta x^2 T_0 + \mu\Delta y^2 T_0 \end{array} \right\rbrace^{k} \end{array} $$

Et enfin, nous créons la matrice de passage:

$$ \left[ M \right] = \left[ \begin{array}{c c c c c} 1-2\mu\left(\Delta x^2 + \Delta y^2\right) & \mu\Delta x^2 & 0 & \mu\Delta y^2 & \ddots \\ \mu\Delta x^2 & 1-2\mu\left(\Delta x^2 + \Delta y^2\right) & \mu\Delta x^2 & 0 & \ddots\\ 0 & \mu\Delta x^2 & 1-2\mu\left(\Delta x^2 + \Delta y^2\right) & 0 & \ddots\\ \mu\Delta y^2 & 0 & 0 & 1-2\mu\left(\Delta x^2 + \Delta y^2\right) & \ddots\\ 0 & \mu\Delta y^2 & 0 & \mu\Delta x^2 & \ddots\\ \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots \end{array} \right] $$