Analyse dimensionnelle 📏
Le Système International d’Unités (SI) repose sur 7 grandeurs fondamentales. Toutes les autres unités peuvent être déduites de celles‑ci. Il est essentiel de maîtriser ces unités en mécanique des fluides pour analyser correctement les équations physiques.
| Dimension | Grandeur | Unité | Symbole |
|---|---|---|---|
| Longueur | $L$ | Mètre | $m$ |
| Masse | $M$ | Kilogramme | $kg$ |
| Temps | $T$ | Seconde | $s$ |
| Intensité électrique | $I$ | Ampère | $A$ |
| Température | $\theta$ | Kelvin | $K$ |
| Quantité de matière | $N$ | Mole | $mol$ |
| Intensité lumineuse | $J$ | Candela | $cd$ |
L’analyse dimensionnelle consiste à vérifier la cohérence d’une équation physique en s’assurant que les deux membres ont les mêmes dimensions. Elle permet également de retrouver des expressions ou de détecter des erreurs.
On note la dimension d’une grandeur entre crochets :
Longueur : $\left[ L \right]$
Masse : $\left[ M \right]$
Temps : $\left[ T \right]$
Exemples :
$$ \begin{matrix} Vitesse & \Longleftrightarrow & \left[ L \right] = L . T^{-1} \\ Accélération & \Longleftrightarrow & \left[ a \right] = L . T^{-2} \\ Force & \Longleftrightarrow & \left[ F \right] = M . L . T^{-2} \\ Pression & \Longleftrightarrow & \left[ P \right] = M . L^{-1} . T^{-2} \end{matrix} $$Si l'on prend comme exemple le débit massique $\left[ Q_{m} \right]$, on parle d'une masse de fluide $\left[ M \right]$ passant à travers une section en un temps $\left[ T \right]$.
$$ \begin{matrix} \left[ Q_{m} \right] = \frac{\left[ M \right]}{\left[ T \right]} & \Longleftrightarrow & kg/s \end{matrix} $$Si l'on prend comme exemple le débit volumique $\left[ Q_{V} \right]$, on parle d'un volume de fluide $\left[ V \right]$ passant à travers une section en un temps $\left[ T \right]$.
$$ \begin{matrix} \left[ Q_{V} \right] = \frac{\left[ V \right]}{\left[ T \right]} = \frac{{\left[ L \right]}^{3}}{\left[ T \right]} & \Longleftrightarrow & m^{3}/s \end{matrix} $$De ces 7 unités fondamentales peuvent être déclinées toutes les autres grandeurs physique.
| Grandeur physique | Unité SI | Symbole |
|---|---|---|
| Surface | - | $m^{2}$ |
| Volume | - | $m^{3}$ |
| Vitesse | - | $m.s^{-2}$ |
| Accélération | - | $m.s^{-2}$ |
| Masse volumique | - | $kg.m^{-3}$ |
| Force | Newton | $N = kg.m.s^{-2}$ |
| Pression | Pascal | $Pa = N.m^{-2} = kg.m^{-1}.s^{-2}$ |
| Energie | Joule | $J = N.m = kg.m^{2}.s^{-2}$ |
| Puissance | Watt | $W = J.s^{-1} = kg.m^{2}.s^{-3}$ |