🌊 Cours de mécanique des fluides 🌊

Développement mathématique en mécanique des fluides

Hydrostatique

L'hydrostatique, ou statique des fluides, est l'étude des fluides immobiles. Expérimentalement, on constate que la pression dans un fluide immobile ne dépend que de la profondeur et pas de la direction.

On peut alors développer l’expression différentielle de la statique des fluides :

$$ \begin{matrix} \frac{dp}{dz} = - \rho .g \\ dp = - \rho .g.dz \end{matrix} $$

Dans un fluide, la pression $P$ croît de haut en bas.

Les surfaces isobares sont des plans horizontaux.

La surface de séparation entre deux fluides non miscibles est un plan horizontal.

$$ \begin{matrix} Pour~1~point & P + \rho .g.z = Cst \\ Pour~2~points & P_{2} - P_{1} = - \rho . g \left( z_{2} - z_{1} \right) \end{matrix} $$

Résolution mathématique

La statique des fluides peut être déduites des équations de Navier-Stokes :

$$ \rho \left(\frac{\partial \overrightarrow{v}}{\partial t} + \left(\overrightarrow{v}.\nabla \right)\overrightarrow{v} \right) = -\nabla P + \mu \Delta \overrightarrow{v} + \rho.\overrightarrow{f} $$

On va poser les hypothèses suivantes :

  • Le fluide est immobile, donc $\overrightarrow{v} = 0$ (stationnaire $\frac{\partial \overrightarrow{v}}{\partial t} = 0$, convection $\left(\overrightarrow{v}.\nabla \right)\overrightarrow{v} = 0$, viscosité $\Delta \overrightarrow{v} = 0$)
  • On projette le système uniquement sur l'axe $z$, donc $-\nabla P = -\frac{\partial P}{\partial z}$. En projettant sur l'axe z, on dépend seulement de la force de gravité. La seule force $f$ agissant sur le fluide est : $\overrightarrow{g} = -g.\overrightarrow{e}_{z}$

Ce qui nous laisse la formule suivante :

$$ 0 = - \frac{\partial P}{\partial z} + -\rho.g ~~~~ \Longleftrightarrow ~~~~ \frac{\partial P}{\partial z} = -\rho.g $$

On intègre cette formule :

$$ \int dP = -\rho.g.\int dz ~~~~ \Rightarrow ~~~~ P + \rho.g.z = Cst $$

Poussée d’Archimède

Tout corps plongé dans un fluide au repos, entièrement mouillé par celui-ci ou traversant sa surface libre, subit une force verticale, dirigée de bas en haut et opposée au poids du volume de fluide déplacé, cette force est appelée poussée d'Archimède.

$$ \begin{matrix} P = m_{objet}.g \\ \Pi = - m_{eau~déplacée}.g \end{matrix} $$

L'équilibre est lorsque $\overrightarrow{P} + \overrightarrow{\Pi} = \overrightarrow{0}$


Bernoulli - Dynamique des fluides parfaits incompressibles (sans échange)

En mécanique des fluides, le théorème de Bernoulli est un principe de conservation de l'énergie sous certaines hypothèses de l'écoulement, établi en 1738 par Daniel Bernoulli.

Hypothèses :

– Fluide parfait (sans viscosité)

– Fluide incompressible ($\rho$ constante)

– Pas d’échange de chaleur ou de travail avec l’extérieur

$$ \begin{matrix} Pour~1~point & P + \rho .g.z + \frac{1}{2} \rho .v^{2} = Cst \\ Pour~2~points & P_{1} + \rho .g.z_{1} + \frac{1}{2} \rho .v^{2}_{1} = P_{2} + \rho .g.z_{2} + \frac{1}{2} \rho .v^{2}_{2} \end{matrix} $$

Résolution mathématique

La relation de Bernoulli peut être déduites des équations de Navier-Stokes avec les hypothèses suivantes :

  • Le fluide est parfait donc la viscosité est considérée comme nulle : $\mu = 0$
  • L'écoulement est considéré comme stationnaire : $\frac{\partial \overrightarrow{v}}{\partial t} = 0$
  • Le fluide est considéré comme adiabatique, la seule force à laquelle il est soumi est la gravité : $\overrightarrow{f} = \overrightarrow{g}$
  • On considère un écoulemment irrotationnel (les particules du fluide ne subissent pas de rotation pure) : $\nabla \times \overrightarrow{v} = 0$

On peut transformer l'identité vectorielle convective de la façon suivante :

$$ \left(\overrightarrow{v}.\nabla \right)\overrightarrow{v} = \nabla\left( \frac{v^{2}}{2} \right) - \overrightarrow{v}\left( \nabla \times \overrightarrow{v} \right) $$ Si l'on repart de l'équation de Navier-Stokes :

$$ \rho \left( \underbrace{\frac{\partial \overrightarrow{v}}{\partial t}}_{=0} + \underbrace{\left(\overrightarrow{v}.\nabla \right)}_{=\nabla\left( \frac{v^{2}}{2} \right)} \overrightarrow{v} \right) = -\nabla P + \underbrace{\mu }_{=0}\Delta \overrightarrow{v} + \rho.\underbrace{\overrightarrow{f}}_{\overrightarrow{f}=\overrightarrow{g}} $$

On peut alors réécrire l'équation de la façon suivante :

$$ \rho\nabla\left( \frac{v^{2}}{2} \right) = -\nabla P + \rho\overrightarrow{g} $$

La gravité est seulement dépendante de l'axe $z$ mais ont peut noter que : $\overrightarrow{g} = -\nabla \left( gz \right)$. On peut donc mettre $\nabla$ en facteur :

$$ \begin{matrix} \rho\nabla\left( \frac{v^{2}}{2} \right) = -\nabla P -\rho\nabla \left( gz \right) \\ \nabla \left( \rho\frac{v^{2}}{2} + P + \rho.g.z \right) = 0 \\ P + \rho .g.z + \frac{1}{2} \rho .v^{2} = Cst \end{matrix} $$

Dynamique des fluides parfaits incompressibles avec échange de travail

La puissance échangée avec le fluide $P_{NET}$ va être le travail qui va être échangé avec l'extérieur. Lors de l'utilisation de machine, le rendement $\eta$ définie la différence d'énergie entre l'énergie nécessaire pour mettre le fluide en mouvement et la puissance délivrée ou absorbée par la machine.

$$ P_{2} + \rho .g.z_{2} + \frac{1}{2} \rho .v^{2}_{2} - \left(P_{1} + \rho .g.z_{1} + \frac{1}{2} \rho .v^{2}_{1} \right) = \frac{P_{NET}}{Q_{V}} $$

Turbine : $\frac{P_{A}}{P_{NET}} = \eta$

Pompe : $\frac{P_{NET}}{P_{A}} = \eta$


Perte de charge linéique

L’écoulement permanent de fluides visqueux dans une conduite droite, horizontale, à section constante, fait apparaître des chutes de pression liées à la longueur de la conduite et à la viscosité. Pour les fluides incompressibles, on utilise alors le théorème de Bernoulli incluant un terme de perte de charge:

$$ P_{1} + \rho .g.z_{2} + \frac{1}{2} \rho .v^{2}_{2} - \left(P_{2} + \rho .g.z_{1} + \frac{1}{2} \rho .v^{2}_{1} \right) = \Delta P_{c} $$

Avec $\Delta P_{c}$ la perte de charge du circuit.

Pour déterminer les pertes de charges globales d'un système, il est nécessaire d'additionner les pertes de charges régulières (pertes de charges le long d'une canalisation rectiligne) aux pertes de charges singulières (passages de singularités comme les coudes, élargissement, réductions...).

Dans un réseau, les pertes de charges vont s'additionner :

$$ \Lambda_{ligne} = \Lambda_{régulière} + \sum \Lambda_{singulière} $$

Perte de charge régulières

Les pertes de charges régulières sont généralement calculées à l'aide de l'équation de Darcy-Weisbach :

$$ \Delta P_{c} = \left[\Lambda \frac{L}{D_{h}} \right] \frac{1}{2}\rho.v^{2} $$

La valeur de $\Lambda$ peut se trouver dans des abaques spécifiques. Dans le cas d'un régime laminaire, l'écoulement peut être considéré comme un écoulement de Poiseuille et peut être approximé de la manière suivante :

$$ \Lambda = \frac{64}{Re} $$

Dans le cas d'un régime turbulent, Les équations pouvant petre utilisées sont les suivantes :

Equation de Colebrook Equation de Prandtl Corrélation de Blasius
Reynolds 4 000-100 000 10 000-100 000 000 4 000-100 000
Formule $\frac{1}{\sqrt{\Lambda}} = -2.log{\left( \frac{2.51}{Re.\sqrt{\Lambda}} + \frac{\epsilon}{3.71D} \right)}$ $\frac{1}{\sqrt{\Lambda}} = 2.log{\left( Re\sqrt{\Lambda} \right)} - 0.8$ $\Lambda = 0.3164.Re^{-0.25}$

Perte de charge singulières

Les pertes de charges singulières sont dues aux variations géométriques de la section de la conduite (coudes, raccords...). La formule utilisée est la suivante :

$$ \Delta P_{c} = \frac{1}{2}\Lambda.\rho.v^{2} $$

Ici, $\Lambda$ est le coefficient de pertes de charges régulières.


Coefficient de perte de charge : $\Lambda$

La valeur du coefficient de perte de charge va se déterminer à l'aide d'abaques. Les logiciels de modélisation vont intégrer ces abaques, l'ouvrage de référence est le memento des pertes de charge : I.E IDEL'CIK traduit du russe par Mme M.MEURY.