Exemples de résolution

Analyse dimensionnelle

On va exprimer le débit d'un fluide par l'équation suivante : $Q_{m} = A.t^{2} - B.t$ où $t$ représente le temps. Trouver la dimention de $A$ et $B$ et leurs unités.

On ne peut que additionner ou soustraire des éléments ayant la même dimension (vous ne pouvez pas additionner des chiens et des patates). Ici, $Q_{m}$ est en $kg.s^{-1}$, on a donc les deux termes $A.t^{2}$ et $B.t$ qui vont avoir la même unité (principe de l'addition). Le débit est une masse $\left[ M \right]$ circulant durant un interval de temps $\left[ T \right]$. On a donc :

$$ \begin{matrix} Q_{m} = \frac{\left[ M \right]}{\left[ T \right]} & A.t^{2} = \frac{\left[ M \right]}{\left[ T \right]} & B.t = \frac{\left[ M \right]}{\left[ T \right]} \end{matrix} $$

L'équation dépendant de $t$, le temps que l'on peut définir de la manière suivante : $t = \left[ T \right]$

On peut alors transformer nos équations précédentes :

$$ \begin{matrix} Q_{m} = \frac{\left[ M \right]}{\left[ T \right]} \\ A.{\left[ T \right]}^{2} = \frac{\left[ M \right]}{\left[ T \right]} & \Longleftrightarrow & A = \frac{\left[ M \right]}{{\left[ T \right]}^{3}} \\ B.{\left[ T \right]} = \frac{\left[ M \right]}{\left[ T \right]} & \Longleftrightarrow & B = \frac{\left[ M \right]}{{\left[ T \right]}^{2}} \end{matrix} $$

On peut alors en déduire les unités :

$$ \begin{matrix} Q_{m} & ~ & \frac{\left[ M \right]}{\left[ T \right]} & ~ & kg.s^{-1} \\ A & ~ & \frac{\left[ M \right]}{{\left[ T \right]}^{3}} & ~ & kg.s^{-3} \\ B & ~ & \frac{\left[ M \right]}{{\left[ T \right]}^{2}} & ~ & kg.s^{-2} \end{matrix} $$

Hydrostatique

Un récipient contient de l'eau divers fluides avec des densidés différentes.

Du dichlorométhane de densité 1.33 sur une épaisseur de 10cm.
De l'huile de densité 0.9 sur une épaisseur de 60cm.
De l'eau sur une épaisseur de 30cm.

La pression au niveau de la surface libre du mélange sera soumise à la pression atmosphérique (1atm = 1.01325 bar). On considère les fluides ayant été mélangés il y a longtemps et que le fluide dans le récipient est au repos.

Combien de strates sont présentes au niveau du récipient ? Dessiner ces strates et la position des différents fluides.

La densité du dichlorométhane est supérieure à celle de l'eau, le dichlorométhane se retrouvera en dessous de la couche d'eau.

La densité de l'huile est inférieure à celle de l'eau, l'huide se retrouvera en dessous de la couche d'eau.

Calculer la pression au niveau de chaque interface.

Pour déterminer la pression au niveau des interfaces entre les fluides, il est nécessaire de déterminer la pression au sommet pour comencer. Puis déterminer chaque pression après chace couche. Il n'est pas possible de commencer par le fond du récipient car nous n'avons pas la pression totale au fond du récipient. Cependant nous avons la pression atmosphérique qui va s'éxercer à la surface du fluide.

Au point $A$, nous sommes au niveau de la surface libre du fluide, nous sommes donc soumis à la pression atmophérique :
Au point $B$, nous allons avoir la pression subise au point $A$ à laquelle on ajoute la pression de la colonne du fluide (huile) :
Au point $C$, nous allons avoir la pression subise au point $B$ à laquelle on ajoute la pression de la colonne du fluide (eau) :
Au point $D$, nous allons avoir la pression subise au point $C$ à laquelle on ajoute la pression de la colonne du fluide (dichlorométhane) :

Poussée d’Archimède

On considère que l'on veut faire un trajet en montgolfière, vous êtes 3 personnes (environ 200kg), que vos affaires font 100kg et que le poid d'une montgolfière est d'environ 600kg. On considère que l'air extérieur est à 15°C ($\rho=1,22 kg/m^{3}$) et que le réchauffeur de la montgolfière peut amener l'air à une température de 50°C ($\rho=1,08 kg/m^{3}$). Déterminer le volume minimal du ballon nécessaire à prendre pour votre trajet.

Dans un premier temps, on va déterminer la masse de la structure et la surface prise sur l'air extérieur.

Masse de la mongolfière	Masse fluide déplacé (air : 25°C)
Passagers : $200 kg$ Affaires : $100 kg$ Structure : $600 kg$ Air (ballon) : $V \times {{\rho}_{air}}_{50°C}$	Ballon : $V \times {{\rho}_{air}}_{15°C}$ Les autres volumes sont négligeables.

Grâce à ces informations, on va utiliser la règle de la poussée d'Archimède pour déterminer le volume minimum dont nous aurions besoin. On va commencer à postuler que nous sommes à l'équilibre ($\overrightarrow{P} + \overrightarrow{\Pi} = \overrightarrow{0}$).

$$ \begin{matrix} \overrightarrow{P} + \overrightarrow{\Pi} = \overrightarrow{0} \\ m_{totale}.g = m_{fluide~déplacé}.g \\ m_{Passagers} + m_{Affaires} + m_{Structure} + m_{Air~chaud} = m_{Volume~ballon} \\ m_{Passagers} + m_{Affaires} + m_{Structure} + V_{Ballon}.{{\rho}_{air}}_{50°C} = V_{Ballon}.{{\rho}_{air}}_{15°C} \\ V_{Ballon} = \frac{m_{Passagers} + m_{Affaires} + m_{Structure}}{{{\rho}_{air}}_{15°C}-{{\rho}_{air}}_{50°C}} \\ V_{Ballon} = \frac{200 + 100 + 600}{1.22-1.08} \simeq 6430 m^{3} \end{matrix} $$

Bernoulli - Dynamique des fluides parfaits incompressibles (sans échange)

On considère un écoulement d'eau dans une conduite avec un manomètre en mercure branché dessus selon la figure suivante :

On considère le diamètre au point $A$ : $d_{A} = 90mm$ et le diamètre au point $B$ : $d_{B} = 30mm$ ainsi que un hauteur $h = 55mm$.

Exprimer la vitesse en $B$ en fonction de la vitesse $A$.

On se considère dans un fluide parfait (non visqueux) et incompressible ($\rho=cst$), on peut donc considérer que la masse volumique du fluide est constante. Etant donné que nous n'avons pas de perte de fluide, il est logique de postuler qu'il y a conservation de la masse. S'il y a conservation de la masse et que la masse volumique est constante, le débit volumique est postulé comme constant également.

On peut alors noter les relations suivantes :

$$ \begin{matrix} Q_{m} = {\rho}_{eau} . Q_{V} = Cst \\ Q_{V} = S_{conduite} \overrightarrow{v} \end{matrix} $$ $$ \begin{matrix} v_{A} = \frac{Q_{V}}{S_{A}} & v_{B} = \frac{Q_{V}}{S_{B}} & v_{B} = v_{A} \frac{S_{A}}{S_{B}} \end{matrix} $$

Exprimer la vitesse $v_{A}$ en fonction de $P_{A}$, $P_{B}$, $d_{A}$, $d_{B}$ et résoudre l'équation pour calculer $v_{A}$ en fonction de la hauteur $H$.

Dans ce problème, le fluide en mouvement passe via la canalisation principale. La conduite en coude remplie de mercure va bloquer le mouvement du fluide. Dans la conduite en coude, le fluide peut être considéré comme non missible et au repos. On va appeler respectivement $A'$ et $B'$ les points situés à la verticale des points respectifs $A$ et $B$ représentant l'interface entre l'eau et le mercure. Avec ces 4 points, on peut définir le système suivant:

$$ \textcolor{blue}{P_{A}} + \textcolor{red}{{\rho}_{eau}.g.z_{A}} + \frac{1}{2}{\rho}_{eau}.v_{A}^{2} = \textcolor{green}{P_{B}} + \textcolor{red}{{\rho}_{eau}.g.z_{B}} + \frac{1}{2}{\rho}_{eau}.v_{B}^{2} $$ $$ \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} P_{A} + {\rho}_{eau}.g.z_{A} = P_{A'} + {\rho}_{eau}.g.z_{A'} \\ P_{A'} + {\rho}_{mercure}.g.z_{A'} = P_{B'} + {\rho}_{mercure}.g.z_{B'} \\ P_{B'} + {\rho}_{eau}.g.z_{B'} = P_{B} + {\rho}_{eau}.g.z_{B} \end{matrix} \right. & \Longleftrightarrow & \left\{ \begin{matrix} \textcolor{blue}{P_{A} = P_{A'} + {\rho}_{eau}.g.\left(z_{A'} - z_{A}\right)} \\ \textcolor{purple}{P_{A'} - P_{B'} = {\rho}_{mercure}.g.\left(z_{B'} - z_{A'}\right)} \\ \textcolor{green}{P_{B} = P_{B'} + {\rho}_{eau}.g.\left(z_{B'} - z_{B}\right)} \end{matrix} \right. \end{matrix} $$

On sait que $z_{A}=z_{B}$, donc les données en rouge vont pouvoir être supprimées de l'équation. Les données en bleu dans l'équation de bernoulli vont pouvoir être remplacées par les éléments du système en dessous.

$$ \textcolor{blue}{P_{A'} + {\rho}_{eau}.g.\left(z_{A'} - z_{A}\right)} + \frac{1}{2}{\rho}_{eau}.v_{A}^{2} = \textcolor{green}{P_{B'} + {\rho}_{eau}.g.\left(z_{B'} - z_{B}\right)} + \frac{1}{2}{\rho}_{eau}.v_{B}^{2} $$

On va mettre tous les éléments correspondant à la statique à gauche de l'équation et tous les éléments correspondant à la dynamique à droite de l'équation.

$$ \textcolor{purple}{P_{A'} - P_{B'}} + {\rho}_{eau}.g.\left(z_{A'} - \textcolor{red}{z_{A}} - z_{B'} + \textcolor{red}{z_{B}}\right) = \frac{1}{2}{\rho}_{eau}.\left(v_{B}^{2} - v_{A}^{2}\right) $$

On va remplacer de nouveau la partie violette de cette équation par celle du système vu plus haut. On va également supprimer les termes qui donnent 0.

$$ \textcolor{purple}{{\rho}_{mercure}.g.\left(\textcolor{orange}{z_{B'} - z_{A'}}\right)} + {\rho}_{eau}.g.\left(\textcolor{orange}{z_{A'} - z_{B'}}\right) = \frac{1}{2}{\rho}_{eau}.\left(v_{B}^{2} - v_{A}^{2}\right) $$

On sait que la hauteur $\textcolor{orange}{H = z_{B'} - z_{A'}}$. On peut donc écrire :

$$ \begin{matrix} {\rho}_{mercure}.g.\textcolor{orange}{H} + {\rho}_{eau}.g.\left(\textcolor{orange}{-H}\right) = \frac{1}{2}{\rho}_{eau}.\left(v_{B}^{2} - v_{A}^{2}\right) \\ g.H\left({\rho}_{mercure} - {\rho}_{eau}\right) = \frac{1}{2}{\rho}_{eau}.\left(v_{B}^{2} - v_{A}^{2}\right) \\ v_{B}^{2} - v_{A}^{2} = \frac{2.g.H\left({\rho}_{mercure} - {\rho}_{eau}\right)}{{\rho}_{eau}} \end{matrix} $$

Dans la première question, nous avions défini la vitesse $v_{B} = v_{A} \frac{S_{A}}{S_{B}}$. En ajoutant cette formule dans notre équation : $$ \begin{matrix} v_{A}^{2} {\left(\frac{S_{A}}{S_{B}}\right)}^{2} - v_{A}^{2} = \frac{2.g.H\left({\rho}_{mercure} - {\rho}_{eau}\right)}{{\rho}_{eau}} \\ v_{A}^{2}\left(\left(\frac{S_{A}}{S_{B}}\right)^{2}-1\right) = \frac{2.g.H\left({\rho}_{mercure} - {\rho}_{eau}\right)}{{\rho}_{eau}} \\ v_{A}^{2} = \frac{2.g.H\left({\rho}_{mercure} - {\rho}_{eau}\right)}{{\rho}_{eau}\left(\left(\frac{S_{A}}{S_{B}}\right)^{2}-1\right)} \\ v_{A} = \sqrt{\frac{2.g.H\left({\rho}_{mercure} - {\rho}_{eau}\right)}{{\rho}_{eau}\left(\left(\frac{S_{A}}{S_{B}}\right)^{2}-1\right)}} \end{matrix} $$

La vitesse en $A$ peut être déterminé pour toute valeur de $H$ en dépendant des diamètres

Dynamique des fluides parfaits incompressibles avec échange de travail

On considère un ventilateur en marche ayant un débit d'air $Q_{V} = 50~000 m^{3}/h$ et un rendement $\eta = 78\%$. La HMT de ce ventilateur est de $1~700~Pa$. Déterminer la puissance NET et la puissance absorbée par le ventilateur.

On va partir de l'équation de la dynamique des fluides appliquée au schéma ci-dessus :

$$ P_{2} + \textcolor{red}{\rho .g.z_{2}} + \frac{1}{2} \rho .\textcolor{blue}{v^{2}_{2}} - \left(P_{1} + \textcolor{red}{\rho .g.z_{1}} + \frac{1}{2} \rho .\textcolor{blue}{v^{2}_{1}} \right) = \frac{P_{NET}}{Q_{V}} $$

Or, on sait que :

La hauteur $z$ ne varie pas donc : $\textcolor{red}{z_{1}=z_{2}}$.
On considère un fluide incompressible, alors ${\rho}_{1} = {\rho}_{2}$.
On considère que l'on conserve la masse, alors $Q_{m}=Cst$.
On considère le débit $Q_{v} = \frac{Q_{m}}{\rho} = Cst$. Alors $Q_{V} = S_{1}.v_{1} = S_{2}.v_{2}$
La taille de la gaine ne varie pas, alors ${d}_{1} = {d}_{2}$, donc ${S}_{1} = {S}_{2}$ et $\textcolor{blue}{{v}_{1} = {v}_{2}}$.

On va donc avoir l'équation suivante après simplification :

$$ \begin{matrix} P_{2} - P_{1} = \frac{P_{NET}}{Q_{V}} \\ P_{NET} = Q_{V} \left(P_{2} - P_{1}\right) = Q_{V}\times{HMT} \\ P_{NET} = \frac{50~000}{3~600} \times 1~700 = 23~611W \end{matrix} $$

Ici, le ventilateur va mettre l'air en mouvement. On peut donc déterminer la puissance a l'aide de l'équation suivante :

$$ P_{A} = \frac{P_{NET}}{\eta} = \frac{23~611}{0.78}=30~271W $$